图2-1  质量守恒的微元体

将质量守恒定律应用到高温流体流动中（如图2-1）所示，即得连续性方程：

在不稳定流动时，流入的流体质量与流出的流体质量之差应等于封闭空间中流体质量的变化；而在稳定流动时则流入流体质量必然等于流出的流体质量，其数学表达式即为连续性方程。在直角坐标系中

不稳定流动时

（2-1）

稳定流动时，则

对于不可压缩流体，ρ=const，则连续性方程为

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左边的三项之和则，

div u=▽·u=0

在柱坐标系中

不稳定流动时

（2-2）

稳定流动时

（2-2a）

对于不可压缩流体，ρ=const，则连续性方程为

（2-2b）

直角坐标和柱坐标之间的换算公式如下：

（2-3）

连续性方程表示了流体运动时，其速度与密度之间的关系。

二、能量方程

根据能量守恒定律、加到流体中的热能q和压力所作的功之和，等于流体对外所作的机械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及动能，位能（gZ2-gZ1）和内能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的数学表达式则为

（2-4）

其微分形式为

（2-4a）

式中，而

两者之和为（i2-i1）

三、粘性流体运动方程

根据牛顿第二定律，考虑到流体的粘性剪切力即可得不可压缩粘性流体运动微分方程式，该式又称为纳维—斯托克斯方程，简称N-S方程，这是流体动力学基本方程之一，在直角坐标系中表示为（见图2-2）。

（2-5）

方程组中左边*项为单位质量力；左边第二项为压力，第三项为摩擦力，合称为表面力；右边为惯性力。

在柱坐标系中则表示为

（2-）

图2-2  粘性流体运动分析

式中一直角坐标拉普拉斯算子

一柱坐标用拉普拉斯算子；

一欧拉系数。

对于可压缩流体，考虑气体的可压缩性、N-S方程具有下列形式：对于直角坐标为

（2-6）

对于柱坐标系则表示为：

（2-6a）

N-S方程是粘性流体zui一般性的方程。加上连续性方程共有四个方程式，当边界条件和初始条件确定后，原则上可求解不可压缩粘性流体运动问题中的四个未知数ux、uy、uz和p。许多层流问题，如园管层流、平行平面间层流、同心园环间层流都可以用N-S方程求出解，而且流体润滑问题也可用N-S方程求近似解。